Պարապմունք 58

Թեմա՝ Երկու ուղիղների զուգահեռության հայտանիշները թեմայի կրկնություն։

Առաջադրանքներ։

1․ c ուղիղը հատում է a և b զուգահեռ ուղիղները՝ a∥b:
Գտնել այն պնդումները, որոնք սխալ են:

• Համապատասխան անկյունները հավասար չեն:
• Համապատասխան անկյունների գումարը 180 աստիճան է:
• Միակողմանի անկյունների գումարը 180 աստիճան է:
• Խաչադիր անկյունները հավասար են:
• Միակողմանի անկյունները հավասար են:
• Խաչադիր անկյունների գումարը 180 աստիճան է:

2․ Ընտրել այնպիսի անկյուն, որը տրվածի հետ կազմի ա ∠5-ի հետ  խաչադիր անկյունների զույգ; բ ∠6-ի հետ համապատասխան անկյունների զույգ; գ ∠4-ի հետ միակողմանի անկյունների զույգ

3․ Հայտնի է, որ երկու զուգահեռ ուղիղներ հատվում են երրորդ ուղղի կողմից: Գտնել ∠1-ը, ∠2-ը և ∠5-ը, եթե ∠7=52⁰ է։

4․ c ուղիղը հատում է a և b զուգահեռ ուղիղները։ Գտնել 2 անկյանը հավասար անկյունները:

5․ Երկու զուգահեռ ուղիղները հատվում են երրորդ ուղղի կողմից:

Նշել այն անկյունները, որոնց գումարը հավասար է  180⁰։

6․ Գծել ABC եռանկյունը և տանել ED∥AC հատվածները: Հայտնի է, որ՝ D∈AB,E∈BC, ∠CBA=77°, ∠BDE=55°։ Գտնել ∠BCA-ն։

7․ Հայտնի է, որ՝ DB=BC, DB∥MC, ∠BCM=142°։ Գտնել ∠1 անկյան մեծությունը:

Պարապմունք 57

Թեմա՝ Եռանկյունների հավասարության հայտանիշները։

Առաջադրանքներ։

1․ O հատման կետը KE և BC հատվածների միջնակետն է: Ապացուցել, որ △COE = △KOB:

Ստացված եռանկյունները իրար հակադիր են, հետևաբար հավասար են։

2. Տրված է ուղղանկյուն: Ապացուցել, որ △GOF=△HOE ։

Եռանկյունները հավասար են ըստ եռանկյունների հավասարության երրորդ հայտանիշի կողմերը հավասար են միմյանց։

3․O հատման կետը AG և LV հատվածների միջնակետն է: Գտնել ∠A և ∠L անկյունների մեծությունները ALO եռանկյան մեջ, եթե ∠V=24° և ∠G=33°։

O կետը հատում է երկու ուղիղները։ Միմյանց դիմաց ընկած անկյունները իրար հավասար են։

∠V=∠L=24°

∠G=∠A=33°

4․ O հատման կետը AF և BV հատվածների միջնակետն է: Գտնել ABO եռանկյան AB և BO կողմերի երկարությունները, եթե FV = 17 սմ, և VO = 8 սմ:

O կետը հատում է երկու հատվածները։ Միմյանց դիմաց ընկած կողմերը իրար հավասար են հատման պատճառով։

FV = AB = 17 սմ

VO = BO = 8 սմ

5․ Տրված է O կենտրոնով և CO շառավղով շրջանագիծ: Ապացուցել, որ BOC և COD եռանկյունները հավասար են։

Քանի որ BC հավասար չէ DC, և համապատասխանաբար անկյունները իրար հավասար չեն։ Տրված եռանկյուները իրար հավասար չեն։

6․ Ապացուցել, որ △MGS=△GMP և գտնել ∠MGS անկյան մեծությունը, եթե ∠GMP=40°-ի:

Պատկերում իրար հանդիպակաց կողմերը իրար հավասար են։

∠GMP=∠MGS=40°

7․Տրված է DCBA ուղղանկյունը: Հավասար են արդյո՞ք AOD և AOB եռանկյունները:

Անկյունները միմյանց կից են, և հավասար չեն։

8․ Ապացուցել, որ նկարում պատկերված եռանկյուններն իրար հավասար են։

Պարապմունք 55

Թեմա՝ Ուղիղ, հատված, անկյուն թեմաների կրկողություն։

Առաջադրանքներ։

1․ Գտիր, թե ո՞ր պնդումներն են համապատասխանում C∉p գրառմանը.

• C ուղիղն անցնում է p կետով
• p ուղիղը չի անցնում C կետով
• C կետը p ուղղի կետ է
• C կետը չի գտնվում p ուղղի վրա
• C կետը գտնվում է p ուղղի վրա
• p ուղիղը անցնում է C կետով

2․ Գտիր ճիշտ պնդումները նույն հարթության վրա գտնվող կետերի և ուղիղների վերաբերյալ.

• Ոչ մի ուղղի վրա չկա երեքից ավելի կետ:
• Ցանկացած ուղղի վրա կան անվերջ թվով կետեր:
• Ցանկացած երկու կետերով անցնում է միակ ուղիղը:
• Ցանկացած երեք կետերով կարելի է տանել ուղիղ:
• Մեկ կետով կարելի է տանել միակ ուղիղը:
• Ցանկացած կետով անցնում են անվերջ թվով ուղիղներ:
• Որոշ երեք կետերով կարելի է տանել ուղիղ:
• Կա այնպիսի կետ, որով ոչ մի ուղիղ չի անցնում:

3․ Քանի՞ հատված կա հետևյալ նկարում:

9

4․ Գտիր ∢DBC-ն, եթե ∢CBA=47° և ∢ABD=90°

90°-47°=43°

5․ ՊարզիրMLK անկյան տեսակը՝

ուղիղ փռված բութ սուր

6․ CG ճառագայթը ECD անկյունը կիսում է երկու հավասար անկյունների: Գտիր GCE անկյունը, եթե ∢ECD=20°:

20°/2=10°

7․ Տրված է, որ՝ CG-ն կիսում է ECD անկյունը և CE-ն կիսում է FCD անկյունը: Հաշվիր DCG և FCD անկյունները, եթե ∢ECD=20°

DCG=10°
FCD=20°+20°=40°

Պարապմունք 52

Թեմա՝ Բեկյալի երկարությունը։

Առաջադրանքներ։

1․ Նշել բեկյալները:

Առաջին և երկրորդ նկարներում։

2․ Տրված է 3 կետ: Քանի՞ երկու կողմերով տարբեր բեկյալներ կարելի է գծել, որոնց գագաթները տրված կետերն են: Գծել գծագիրը;

3․ Առանց ինքնահատումների փակ բեկյալն ունի 4 կողմ: Կարող են արդյո՞ք նրա կողմերն ունենալ հետևյալ երկարությունները:

ա) 6 սմ, 5 սմ, 4 սմ, 3 սմ 

բ) 2 սմ, 2 սմ, 3 սմ, 7 սմ

4. Տրված են 4 կետեր: Քանի՞ տարբեր բաց ու փակ (բայց առանց ինքնահատումների) բեկյալներ կարելի է գծել, որոնց գագաթները տրված կետերն են:

ա) Երկու կողմերով բեկյալների թիվը՝ 6:

բ) Երեք կողմերով բաց բեկյալների թիվը՝ 4:

գ) Երեք կողմերով փակ բեկյալների թիվը՝ 4:

դ) Չորս կողմերով փակ բեկյալների թիվը՝ 1:

5. Նկարում հատվածների միջոցով պատկերված են թվանշաններ: Դրանցից որո՞նք են՝ ա) պարզ բեկյալ/բ,գ,դ,ե,զ,է,ը,ժ/, բ) պարզ փակ բեկյալ/ա/։

6․ Նվազագույնը քանի՞ օղակ ունի՝ բեկյալը, փակ բեկյալը:

Բեկյանը ունի 2 օղակ, իսկ փակ բեկյալը՝ 3 օղակ:

7․ Առնվազն քանի՞ օղակ ունի բեկյալը, եթե այն ունի մի ուղղի վրա գտնվող ոչ հարևան օղակներ: Գծագրեք այդպիսի բեկյալ:

Չորսը Օղակ։

8․Որքա՞ն կարող է լինել AB հատվածի երկարությունը, եթե նրա ծայրակետերը միացված են բեկյալով, որի օղակների երկարություններն են՝

ա) 6 սմ, 8սմ, 10սմ

Այս դեպքում AB հատվածի երկարությունը 24 սմ է։

բ) 2սմ, 3,1սմ և 5,3սմ

Այս դեպքում AB հատվածի երկարությունը 10,4 սմ է։

9․ Բեկյալը բաղկացած է 5 հատվածից որոնց երկարություններն են 2 սմ, 5 սմ, 8 սմ, 11 սմ և 20 սմ։ Հաշվել բեկյալի երկարությունը։

2+5+8+11+20=46սմ բեկյալի երկարություն

Պարապմունք 48

Թեմա՝ Կետի հեռավորությունը ուղղից։

Երկու կետերի միջև հեռավորություն մենք անվանել ենք այդ կետերը միացնող հատվածի երկարությունը: Այժմ ներմուծենք կետի և ուղղի միջև հեռավորության հասկացությունը:

Դիցուք CA-ը C կետից a ուղղին տարված ուղղահայացն է, իսկ B-ը a ուղղի ցանկացած կետ է, որը տարբերվում է A-ից: CA հատվածը կոչվում է C կետից a ուղղին տարված թեք:

1. Եթե C կետից a ուղղին տարված է CA ուղղահայացը, ապա բոլոր մնացած հատվածները, որոնք տարված են այդ կետից դեպի ուղղի կետերը, կոչվում են թեքեր:

2. Կետից ուղղին տարված ուղղահայացը փոքր է այդ կետից տարված ցանկացած թեքից, քանի որ ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը մեծ է էջից:

3. Կետից ուղղին տարված ուղղահայացի երկարությունը կոչվում է այդ կետի հեռավորություն ուղղից:

Առաջադրանքներ։

1. Կետից տարված են ուղղին ուղղահայաց և թեք, որոնց երկարությունների գումարը 16 սմ է, իսկ տարբերությունը՝ 2 սմ: Գտեք կետի հեռավորությունը ուղղից:

AM+AK=16

AM-AK=2

16-2=14

14:2=7

7+2=9

 2. CDE ուղղանկյուն եռանկյան CE ներքնաձիգի և CD էջի գումարը 31 սմ է, իսկ տարբերությունը՝ 3սմ: Գտեք C գագաթի հեռավորությունը DE ուղղից:

CE+CD=31սմ

CE-CD=3սմ

31-3=28սմ

28:2=14սմ

CE=14+3=17սմ

CD=14սմ

3. Գտնել C կետի հեռավորությունը a ուղղից։

Մենք գիտենք որ եռանկյուն ABC-ն հավասարասրուն է, ապա CK բարձրությունը կլինի նաև միջնագիծ և կիսորդ հետևաբար АК=KB=7սմ։ Եռանկյուն AKC-ն հավասարասրուն է այստեղից KC=AK=7սմ։

4․ Գտնել B կետի հեռավորությունը AC-ից։

5. Գտնել B կետի հեռավորոիթյունը a ուղղից։

Քանի որ A=30 աստիճան, ապա AB=1/2Ba=10.5սմ:

6. CE հիմքով CDE հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է CF բարձրությունը: Գտեք ∠ECF-ը, եթե ∠D=54⁰:

180-54:2=63(∠C, ∠F)

180-63+63=54(∠E)

7. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը 7,6 սմ է, իսկ եռանկյան սրունքը՝ 15,2 սմ: Գտեք այդ եռանկյան անկյունները:

8. ABC հավասարասրուն սուրանկյուն եռանկյան AB և AC սրունքներին տարված բարձրությունները հատվում են M կետում: Գտեք եռանկյան անկյունները, եթե ∠BMC=140⁰:

Պարապմունք 47

Առաջադրանքներ:

1. Նկարում BC=AD, BK=DP, DP⟂AB, BK⟂CD: Ապացուցել, որ AP=CK:

Քանի որ APD և BKC եռանկյունները ուղղանկյուն են և հավասար են ըստ 4-րդ հայտանիշի։

2․ Նկարում BC=AD, BD-ն ուղղահայաց է և AB-ին, և CD-ին։ Ապացուցել, որ AB=CD:

Տվյալ եռանկյան մեջ BD-ն ընդհանուր է, իսկ մյուս կողմերը իրար հավասար են/BC=AD/։Այս խնդիրը կապված է ուղղանկյուն եռանկյան 4-րդ հայտանիշի հետ։

3․ Նկարում ∠BAC= ∠DCA, ∠CAD=∠ACB=90^o: Ապացուցել, որ ∠ADC=∠ABC

Եթե ուղղանկյուն եռանկյան մեջ մի եռանկյան սուր անկյունը հավասար է մյուս եռանկյան սուր անկյանը, ապա մյուս սուր անկյունները իրար հավասար են։

4․ Նկարում ∠C=∠D=90^o, ∠ABC=∠DAB: Ապացուցել, որ AD=CB:

Քանի որ ծայրային եռանկյունները ուղղանկյուն եռանկյուններ են, այդ պատճառով տրված կողմերը իրար հավասար են, ըստ ուղղակյուն եռանկյան հավասարության հայտանիշների։

5․Նկարում BP=CK, AP=KD, ∠APB=∠DKC=90^o: Ապացուցել, որ AB=CD

Հետևելով այս հայտանիշին, և հաշվի առնելով, որ ծայրերի եռանկյունները ուղղանկյուն են, ապա՝ AB=CD։

6․ ABC եռանկյան մեջ BK բարձրությունը հավասար է BC կողմի կեսին, ∠A=80^o: Գտնել եռանկյան մյուս անկյունները:

∠A=80^o

∠B=90^o

180^o-170^o=10^o/∠C/

Պարապմունք 43

Թեմա՝ Ուղղանկյուն եռանկյան որոշ հատկություններ։

Ուղղանկյուն եռանկյան հատկությունները

1․Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը հավասար է 90°-ի: 

Եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է 180°-ի, իսկ ուղիղ անկյանը՝ 90°-ի: Հետևաբար, երկու սուր անկյունների գումարը հավասար է՝ ∡1+∡2=90°

2․Ուղղանկյուն եռանկյան 30°-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին (ներքնաձիգը երկու անգամ մեծ է 30°-ի դիմացի էջից):

Դիտարկենք ABC ուղղանկյուն եռանկյունը, որում ∡A-ն ուղիղ անկյունն է, ∡B=30° և ուրեմն՝ ∡C=60°։ Ապացուցենք, որ BC=2AC

ABC եռանկյանը կցենք նրան հավասար ABD եռանկյունը, ինչպես ցույց է տրված վերևի գծագրում: Ստանում ենք BCD եռանկյունը, որում ∡B=∡D=60°, ուստի՝ DC=BC: Բայց DC=2AC, հետևաբար, BC=2AC

Տեղի ունի նաև հակառակ պնդումը:

3․Եթե ուղղանկյուն եռանկյան էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին (կամ ներքնաձիգը երկու անգամ մեծ է էջից), ապա այդ էջի դիմացի անկյունը 30° է:

Առաջադրանքներ։

1․Ուղղանկյուն եռանկյան փոքր անկյունը 30^o  է: Ընտրել ճիշտ տարբերակները:

• Ներքնաձիգի հետ 30^o անկյուն կազմող էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:
• 60^o  դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:
• Եռանկյան մեծ սուր անկյունը 60^o  է:
• Ներքնաձիգի հետ 60^o  անկյուն կազմող էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:
• Ներքնաձիգը երկու անգամ մեծ է փոքր էջից:
• Ներքնաձիգի հետ 30^o  անկյուն կազմում է էջերից փոքրը:
• Ներքնաձիգը երկու անգամ մեծ է մեծ էջից:

2․Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյուններից մեկը 45^օ է: Գտնել  ճիշտ պնդումները:

• 45^օ դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:
• Եռանկյան մյուս սուր անկյունը ևս 45^o  է:
• Եռանկյան սուր անկյունները հավասար են:
• Եռանկյան էջերը հավասար են:
• Եռանկյունը չունի 45^o-ից  մեծ անկյուն:
• Էջերի գումարը հավասար է ներքնաձիգին:
• Եռանկյունը չունի 45^o-ից  մեծ սուր անկյուն:

3․Համաձայն ես արդյո՞ք ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի վերաբերյալ բերված պնդումներին:

ա. Ներքնաձիգի կրկնապատիկը մեծ է էջերի գումարից:

• ոչ
• հնարավոր չէ պարզել
• այո

բ. Էջերի գումարը փոքր է ներքնաձիգից:

• հնարավոր չէ պարզել
• այո
• ոչ

4․ Տրված է DEF ուղղանկյուն եռանկյունը: Որոշել ∡F-ը, եթե ∡E=21°-ի:

90°-21°=69°

5․ Ուղղանկյուն եռանկյան մի անկյունը 60⁰ է, ներքնաձիգը հավասար է 12 սմ: Գտնել փոքր էջի երկարությունը:

12սմ:2=6սմ (էջի երկարություն)

6․ Ուղղանկյուն եռանկյան մի անկյունը 60⁰ է, ներքնաձիգի և փոքր էջի գումարը հավասար է 18սմ: Գտնել ներքնաձիգի և փոքր էջի երկարությունը:

18սմ:3=6սմ/էջը/

6սմx2=12սմ/ներքնաձիգը/

7․Տրված է DEK ուղղանկյուն եռանկյունը և նրա ∡K անկյան արտաքին անկյունը:

Որոշել եռանկյան սուր անկյունների մեծությունները, եթե ∡EKR=145°-ի

180°-145°=35°

90°-35°=55°

8․ A ուղիղ անկյունով ուղղանկյուն եռանկյան մեջ AB=4,2սմ, BC=8,4սմ: Գտնել ∡B-ն:

8,4:4,2=2

Ուրեմն BA-ն ընկած է 30°-ի դիմաց։ Հետաբար՝ ∡B=60°:

9․ Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյուններից մեկը 60° է, իսկ փոքր էջի և ներքնաձիգի գումարը հավասար է 9 սմ-ի: Որոշիր փոքր էջի երկարությունը:

9սմ:3=3սմ (էջը)

3սմx2=6սմ (ներքնաձիգ)

10․ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ AC հիմքին տարված է BD բարձրությունը: Բարձրության երկարությունը 12.5 սմ է, իսկ սրունքը՝ 25 սմ: Որոշել եռանկյան անկյունները:

A=C=30°

B=180°-60°=120°

Պարապմունք 39

Կրկնողություն

1. Տրված է ABC եռանկյունը: ∠A=34°, ∠B=78°: Որոշել ∠C անկյան մեծությունը:

∠C=180-34-78=68°

2. Տրված է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի սուր անկյուններից մեկի մեծությունը 27° է: Որոշել այդ եռանկյան մյուս սուր անկյան մեծությունը:  

90-27=63°

3. ABT հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված
է AT հիմքի T անկյան TM կիսորդը և ∠TMB=68°-ի: Որոշել եռանկյան անկյունների մեծությունները: 

4․ Որոշել NLM եռանկյան անկյունների մեծությունները և եռանկյան տեսակը, եթե ∠N:∠L:∠M=6:2:4

6+2+4=12
180/12=15
∠N=15*6=90^o
∠L=15*2=30^o
∠M=15*4=60^o

5․ AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AD կիսորդը։ Գտեք ∠ADC-ն, եթե ∠C=50⁰։

^o
o
∠ADC=180-50-25=105^o

6․Գտնել եռանկյան անհայտ անկյունը․

ա) 180-30-70=80^o

բ) 180-60-50=70^o

գ) 180-28-42=110^o

7․ Գտնել եռանկյան արտաքին անկյունը։

ա) 180-65-45=70^o
180-70=110^o

բ) 180-110=70
180-50-70=60
180-60=120^o

գ) 180-80-80=20^o
180-20=160^o

8․ Գտնել անհայտ անկյունները․

y=27^o
x=67^o

Պարապմունք 38

Թեմա՝ Սուրանկյուն, ուղղանկյուն և բութանկյուն եռանկյուններ

Եռանկյան անկյունների գումարի թեորեմի չորրորդ հետևանքի համաձայն՝ անկյուններից կախված գոյություն ունեն եռանկյունների երեք տեսակներ:

Եթե եռանկյան երեք անկյունները սուր են, ապա եռանկյունը կոչվում է սուրանկյուն եռանկյուն:

Եթե եռանկյան անկյուններից մեկը բութ , ապա եռանկյունը կոչվում է բութանկյուն եռանկյուն:

Եթե եռանկյան անկյուններից մեկը ուղիղ է, ապա եռանկյունը կոչվում է ուղղանկյուն եռանկյուն:

Ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան դիմացի կողմը կոչվում է ներքնաձիգ, իսկ մյուս երկու կողմերը՝ էջեր:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Ո՞ր եռանկյունն է կոչվում սուրանկյուն։ GEOGEBRA ծրագրով գծել սուրանկյուն եռանկյուն։

2. Ո՞ր եռանկյունն է կոչվում բութանկյուն։ GEOGEBRA ծրագրով գծել բութանկյուն եռանկյուն։

3. Ո՞ր եռանկյունն է կոչվում ուղղանկյուն։ GEOGEBRA ծրագրով գծել ուղղանկյուն եռանկյուն։

4․ Ինչպե՞ս են կոչվում ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը։

ներքնագիծ։

5․ Կարո՞ղ է եռանկյունն ունենալ երկու բութ անկյուն: Պատասխանը հիմնավորել։

Ոչ որովհետև բութ անկյունը 90 աստիճանից մեծ է, իսկ երկու բութ անկյան գումար ստացվում է 180 աստիճանից բարձր։

6․Կարո՞ղ է եռանկյունն ունենալ երկու ուղիղ անկյուն: Պատասխանը հիմնավորել։

Ոչ որովհետև ուղիղ անկյունը 90 աստիճան է, իսկ երկու ուղիղ անկյան գումար ստացվում է 180 աստիճան, բայց այս դեպքում չի լինում երրորդ անկյունը։

7․ Եռանկյունն ունի 32 աստիճանի երկու անկյուն: Տրված եռանկյունը՝

• բութանկյուն է:
• ուղղանկյուն է:
• սուրանկյուն է:

8․ Հայտնի է, որ, MLK-ն եռանկյան անկյուններից ∠MLK=51° է: Նշել MLK եռանկյան տեսակը.

• սուրանկյուն
• բութանկյուն
• հնարավոր չէ պարզել
• ուղղանկյուն

9․ Տրված է NEC եռանկյունը: ∠N=27°, ∠E=99°: Որոշել եռանկյան տեսակը։

Եռանկյունը բութանկյուն է, քանի որ ∠E-ն 90 աստիճանից բարձր է, այն չի կարող լինել ուղղանկյուն եռանկյուն կամ սուրանկյուն եռանկյուն։

10․Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյուններից մեկի մեծությունը 35° է:

Որոշել եռանկյան գագաթի անկյան մեծությունը և եռանկյան տեսակը։

35°+35°=70°

180°-70°=110°

110^o գագաթի անկյան մեծությունը

Եռանկյունը հավասարասրուն է։

11․Տրված է KEG եռանկյունը և նրա ∠GKE և ∠GEK անկյունների կիսորդները:

Որոշել կիսորդների կազմած ∠KME անկյունը, եթե ∠GKE=48° և ∠GEK=58°-ի:

Տրված է KEG եռանկյունը և նրա∡GKE և ∡GEK անկյունների կիսորդները:

Որոշիր կիսորդների կազմած∡KME անկյունը, եթե ∡GKE=48° և ∡GEK=58°-ի:

Պարապմունք 36

Թեմա՝ Եռանկյան անկյունների գումարը։

Եռանկյան անկյունների գումարը 180° է: 

Ապացույց:

Դիտարկենք KLM կամայական եռանկյունը և ապացուցենք, որ ∡K+∡L+∡M=180°

L գագաթով տանենք KM կողմին զուգահեռ a ուղիղը: 1-ով նշանակված անկյունները խաչադիր են՝ առաջացել են a և KM զուգահեռ ուղիղները KL-ով հատելիս:

2-ով նշանակված անկյունները ևս խաչադիր են և առաջացել են նույն զուգահեռ ուղիղները ML-ով հատելիս:

Ակնհայտ է, որ 1, 2 և 3 անկյունների գումարը հավասար է L գագաթով փռված անկյանը, հետևաբար՝

∡1+∡2+∡3= 180° կամ ∡K+∡L+∡M=180°:

Թեորեմն ապացուցված է:

Եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորեմի հետևանքները

Հետևանք 1. Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է:

Հետևանք2. Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան յուրաքանչյուր սուր անկյուն հավասար է 45°-ի:

Հետևանք3. Հավասարակողմ եռանկյան բոլոր երեք անկյունները հավասար են 60°-ի:

Հետևանք4. Ցանկացած եռանկյան մեջ կամ բոլոր անկյունները սուր են, կամ անկյուններից երկուսը սուր են, իսկ երրորդը՝ բութ կամ ուղիղ:

Հետևանք5. Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է երկու ներքին անկյունների գումարին, որոնք կից չեն արտաքին անկյանը: 

Ապացույց:

∡KML+∡BML= 180° և ∡K+∡L+∡KML=180° հավասարություններից ստանում ենք, որ ∡BML=∡K+∡L

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Ինչի՞ է հավասար եռանկյան անկյունների գումարը։

180^o

2․Ինչի՞ է հավասար ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը։

90^o

3․Ինչի՞ է հավասար հավասարակողմ եռանկյան յուրաքանչյուր անկյունը։

20^o

4․Ինչի՞ է հավասար եռանկյան արտաքին անկյունը։

Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է երկու ներքին անկյունների գումարին, որոնք կից չեն արտաքին անկյանը:

5․Ըստ գծագրի գտնել անհայտ անկյունը․

ա)

180/3 = 60^o

բ)

 ∡A+∡C+∡B = 180^o

գ)

∡A+∡B = 80^o
180^o— 80^o = 100^o
∡C = 100^o

դ)

∡A = 40^o
∡C = 40^o
∡A+∡C+∡B = 180^o

ե)

∡KCM = ∡ACM = 40^o
180-90-40 = 50^o

զ)

90-20 = 70^o

է)

6․Գտեք ABC եռանկյան C անկյունը, եթե՝

ա)∠A =67⁰, ∠B=54⁰

67+54=121^o
o

բ)∠A =36⁰, ∠B=120⁰

36+120=156^o
o

7. Գտեք հավասարասրուն եռանկյան անկյունները, եթե նրա անկյուններից մեկը հավասար է՝ ա) 36⁰ , բ) 60⁰ , գ) 110⁰

ա)
36*2=72^օ
180-72=108^օ

բ)
180-36=144^օ
144/2=72^օ

գ)
180-110=70^օ
70/2=35^օ

8. Գտեք ABC եռանկյան անկյունները, եթե ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4

2+3+4 = 9
180/9=20
∡A=2*20=40^o
∡B=3*20=60^o
∡C=4*20=80^o