Պարապմունք 37

Թեմա՝ Եռանկյան անկյունների գումարը:

Առաջադրանքներ։

1. Տրված է ABC եռանկյունը: ∠A=25°, ∠B=98°: Որոշել ∠C անկյան մեծությունը:

5+98=123

180-123=57

2. Տրված է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի սուր անկյուններից մեկի մեծությունը 68° է: Որոշել այդ եռանկյան մյուս սուր անկյան մեծությունը:  

90-68=22

3. Տրված է ADM հավասարասրուն եռանկյան գագաթի ∠D անկյան մեծությունը` ∠D=138°: Որոշել հիմքին առընթեր անկյունների մեծությունները:

4. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյուններից մեկի մեծությունը 48° է: Որոշել եռանկյան գագաթի անկյան մեծությունը:

5. Որոշել KMN եռանկյան անկյունների մեծությունները, եթե ∠K:∠M:∠N=4:3:5:

6․ Հավասարասրուն եռանկյան արտաքին անկյուններից մեկը 115⁰ է: Գտնել եռանկյան անկյունները:

7․ Գտնել անհայտ անկյունները։

ա)

բ)

գ)

դ)

ե)

8․ Որոշել AKM հավասարասրուն եռանկյան անկյունների մեծությունները, եթե հիմքին հանդիպակած K գագաթի անկյան կից անկյունը հավասար է 156°-ի:

Реклама

9․Գտնել հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունը, եթե գագաթի անկյունը 12°-ով մեծ է հիմքին առընթեր անկյունից։

Պարապմունք 35

Թեմա՝ Թեորեմներ երկու զուգահեռ ուղիղներով և հատողով կազմված անկյունների մասին:

Առաջադրանքներ

1․ Տրված է ∠ABC = 70°, իսկ ∠BCD = 110°։ АВ և CD ուղիղները կարո՞ղ են լինել՝   ա) զուգահեռ,    բ) հատվող

2․ Նկարում а, b և с ուղիղները հատվում են d հատողով։ Հայտնի է, որ ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°։ Պարզել а, b և с ուղիղներից որոնք են իրար զուգահեռ։

՝138+42=180^օ

3․ Տրված է, որ а || b և ∠1 + ∠2 = 122° ։Գտնել ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8։

∠1 = 61^o
∠2 = 61^o
∠3 = 119^o
∠4 = 61^o
∠5 = 119^o
∠6 = 119^o
∠7 = 61^o
∠8 = 119^o

4․ Տրված է, որ AD || ВС, ∠1 = 50°, ∠2 = 65°։Գտնել ∠ABC.

∠ABC=50+65=115^o

5․ Տրված է, որ  m || n, ∠2-ը մեծ է ∠1-ից 30°-ով։ Գտնել ∠1, ∠2.

180-30=150^o
150/2=75^o
75+30=105^o

 6․ Տրված է, որ АС ║ МК, АВ = ВК, ∠АКМ = 40°. Գտնել ∠КВС.

7․ Տրված է, որ АВ ║ МК և հայտնի է, որ  ∠РМК-ն կազմում է ∠САВ-ն մեկ երրորդ մասը։ Գտնել այդ անկյունները։

8․ АD ║ ВС, ∠МВС = 65°, ∠ВСК = 80°. Գտնել АВСD քառանկյան անկյունները։

9․ Գտնել x-ը և y-ը, եթե а || b։

y=180-80=100^o
x=80^o

10․ Գտնել x-ը և y-ը, եթե а || b։

x=40^o
y=180-40=140^o

Պարապմունք 34

Թեմա՝ Թեորեմներ երկու զուգահեռ ուղիղներով և հատողով կազմված անկյունների մասին։

Ամեն մի թեորեմի մեջ առանձնացվում է երկու մաս՝ պայմանը և եզրակացությունը։ Թեորեմի պայմանն այն է, ինչը տրված է, իսկ եզրակացությունը՝ այն, ինչը պահանջվում է ապացուցել։ Երբեմն ձևակերպվում են երկու այնպիսի թեորեմներ, որոնց պայմանները և պահանջները շրջված են։ Այդպիսի թեորեմները կոչվում են հակադարձ թեորեմներ։ Դիտարկենք զուգահեռության հայտանիշների հակադարձ թեորեմները։

Թեորեմ 1․ Եթե երկու զուգահեռ ուղիղներ հատած են երրորդով, ապա խաչադիր անկյունները հավասար են։

Հետևանք։ Եթե ուղիղն ուղղահայաց է երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկին, ապա այն ուղղահայաց է նաև մյուսին։

Թեորեմ 2․ Եթե երկու զուգահեռ ուղիղներ հատած են երրորդով, ապա համապատասխան անկյունները հավասար են։

Թեորեմ 1․ Եթե երկու զուգահեռ ուղիղներ հատած են երրորդով, ապա միակողմանի անկյունների գումարը հավասար ենէ 180⁰։

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Տրված է  a և b զուգահեռ ուղիղները և c հատողը: 4-րդ և 5-րդ անկյունների գումարը 300˚ է: Գտեք մյուս բոլոր անկյունները:

<4=300/2=150^0
<5=300/2=150^0
<3=180-150=30^0
<8=180-150=30^0
<1=<8=30^0
<2=<5=150^0
<7=<4=150^0
<6=<3=30^0

2․ Գտնել բոլոր անկյունները, եթե a||b

3․ Գտնել ∠2-ը , եթե a||b։

<2=107^0

4․Գտնել ∠CAD-ն, եթե  a||b

<CAD=22^0

5․Գտնել ∠2-ը, եթե a||b

<2=72^0

6․Գտնել ∠2-ը, եթե a||b

<2=180-56=124^0

7․ Գտնել ∠2-ը, եթե a||b

<2=180-<1

Պարապմունք 32

1. Նշիր նկարին համապատասխան պնդումները:

• հատվում են
• զուգահեռ են

2․ Եթե հարթության վրա երկու ուղիղներ զուգահեռ են, ապա այդ ուղիղները չեն հատվում:

• ճիշտ է
• սխալ է

3․ Ճիշտ է արդյո՞ք հետևյալ պնդումը`AB∥ IE:

այո, քանի որ EIA=BAU-ին և նրաք համապատասխան անկյոններ են։

4․ c ուղիղը հատում է a և b ուղիղները: Գտիր այնպիսի անկյուն, որը ∠4-ի հետ կազմի միակողմանի անկյունների զույգ:

5. ABC անկյունը 65⁰ է, իսկ BCD անկյունը՝ 115⁰։ AB և CD ուղիղները կարո՞ղ են, արդյոք, լինել՝

ա) զուգահեռ-ոչ      բ) հատվող-այո

6. Գծիր ABC եռանկյունը և տար ED∥AC հատվածները: Հայտնի է, ր՝ D∈AB,E∈BC, ∢CBA=77°,∢BDE=55°

Գտիր∡BCA

55+77=132

180-132=48

7․Երկու զուգահեռ ուղիղներ երրորդով հատելիս առաջացած խաչադիր անկյունների գումարը հավասար է 210⁰ ։Գտնել այդ անկլյունները։

210:2=105

8․ Երկու զուգահեռ ուղիղներ երրորդով հատելիս առաջացած միակողմանի անկյուններից մեկը 46⁰-ով մեծ է մյուսից։ Գտնել այդ անկյունները։

x+(x+46)=180

2x=180-46

x=134:2

x=67

67+46=113

67 և 113

9․ BK հատվածը ABC եռանկյան կիսորդ է։ K կետով տարված է ուղիղ, որը BC կողմը հատում է M կետում այնպես, որ BM=MK: Ապացուցել, որ KM||AB:

Պարապմունք 31

1․Ինչպիսի՞ անկյուններ են առաջանում երկու ուղիղները հատողով հատելիս։ GEOGEBRA ծրագրով գծել այդ անկյունները։

2․ Արցյո՞ք նկարում պատկերված ուղիղները զուգահեռ են։

Այո

3․ Ապացուցել, որ m և n ուղիղները զուգահեռ են։

27 + 153 = 180(Որպես միակողմանի անկյուներ։ Հետևաբար mIIn )

4․ Օգտագործելով գծագրերը, նշել պնդումներից ո՞րն է ճիշտ․

ա) m և k ուղիղները զուգահեռ են․ Այո     բ)a և c ուղիղները զուգահեռ են․Ոչ

գ) ∠1 և ∠2 խաչադիր անկյուններ են Այո     դ) ∠4 և ∠5 միակողմանի անկյուններ են Ոչ

ե) ∠1 և ∠3 համապատասխան անկյուններ են Այո

5․Օգտագործելով գծագրերը, նշել պնդումներից ո՞րն է սխալ․

ա) m և n ուղիղները զուգահեռ են․ Այո   բ) a և b ուղիղները զուգահեռ են․ Ոչ

գ) ∠1 և ∠2 խաչադիր անկյուններ են Այո   դ) ∠3 և ∠5 միակողմանի անկյուններ են Ոչ

ե) ∠3 և ∠4 համապատասխան անկյուններ են Ոչ

6․ Համապատասխանեցնել

ա — գ
բ — բ
գ — ա

7․Նշել առաջացած անկյունների զույգերը։

4 — 5
3 — 8
1 — 8
2 — 5
4 — 7
3 — 6

8․ Ապացուցել, որ ուղիղները իրար զուգահեռ են։

Պարապմունք 30

1. Ո՞ր ուղիղներն են կոչվում զուգահեռ:

Հարթության վրա գտնվող a և b ուղիղները կոչվում են զուգահեռ, եթե նրանք չեն հատվում:

2. Ինչպե՞ս են նշանակունմ երկու ուղիղների զուգահեռությունը:

Այդ հանգամանքը նշանակում են այսպես՝  a∥b:

3. Ինչպիսի՞ անկյուններ են առաջանում երկու ուղիղներ հատողով հատելիս:

Երկու ուղիղներ հատողով հատելիս առաջանում են խաչադիր, համապատասխան կամ միակողմանի անկյուններ։

4․Արդյո՞ք զուգահեռ են նկարում պատկերված ուղիղները.

1 — այո
2 — ոչ
3 — այո
4 — այո
5 — ոչ
6 — այո

5․ Արդյո՞ք զուգահեռ են նկարում պատկերված ուղիղները.

Այո
Ոչ
Այո

6․ Նկարում պատկերված ուղիղներից որո՞նք են զուգահեռ.

a∥b
b∥c
a∥c

7․ Նկարում պատկերված ուղիղներից որո՞նք են զուգահեռ.

b∥c

Պարապմունք 25

Թեմա՝ Շրջանագիծ

Շրջանագիծ կոչվում է երկրաչափական այն պատկերը, որը կազմված է հարթության բոլոր այն կետերից, որոնք գտնվում են տրված կետից տրված հեռավորության վրա:   

Այդ կետը կոչվում է շրջանագծի կենտրոն, իսկ տրված հեռավորությունը՝ շրջանագծի շառավիղ:

Շառավիղը հատված է, որը միացնում է շրջանագծի կենտրոնը շրջանագծի ցանկացած կետի հետ: Սահմանումից հետևում է, որ կարելի է տանել անվերջ թվով շառավիղներ, և դրանք բոլորը կունենան միևնույն երկարությունը:

Շրջանագծի երկու կետեր միացնող հատվածը կոչվում է լար:

Եթե լարը անցնում է շրջանագծի կենտրոնով, ապա այն կոչվում է շրջանագծի տրամագիծ:Այն հատվածը, որը միացնում է շրջանագծի երկու կետեր և անցնում է նրա կենտրոնով, անվանում են տրամագիծ։ Շրջանագծի կենտրոնը տրամագիծը բաժանում է երկու շառավղի։

Տրամագիծն ամենաերկար լարն է:

Շրջանագծում կարելի է տանել նաև անվերջ թվով տրամագծեր:

Շրջանագծի ցանկացած երկու կետեր շրջանագիծը տրոհում են երկու մասի, որոնցից յուրաքանչյուրը կոչվում է շրջանագծի աղեղ:

Եթե շրջանագծի վրա նշենք երկու կետ, ապա առաջանում են երկու աղեղներ: Այդ պատճառով աղեղի նշանակման համար օգտագործում են լատիներեն երեք տառ, որոնք կարող են լինել ինչպես մեծատառեր, այնպես էլ՝ փոքրատառեր:  

Վերևի նկարում կարող ենք նշել AMB և ALB   աղեղները:

Ներքևի նկարում գծված են AxB և AyB աղեղները:

Հարթության այն մասը, որը սահմանափակված է շրջանագծով, կոչվում է շրջան:

1. Ո՞ ր պատկերն է կոչվում շրջանագիծ։

2.Ի՞նչ է շրջանագծի շառավիղը։ Իսկ ի՞նչ է տրամագիծը։

3. Ո՞ր հատվածն է կոչվում շրջանագծի լար։

4. Ի՞նչ է շրջանագծի աղեղը։

5. Շրջանագծի լա՞ր է արդյոք նրա տրամագիծը։

6. Ի՞նչ է շրջանը։

7. Քանի՞ անգամ է շրջանագծի տրամագիծը մեծ նրա շառավղից։

8․ Ողիղը հատում է շրջանագիծը A և B կետերում։ Ի՞նչ կետերով պիտի անցնի այդ ուղիղը, որպեսզի AB հատվածն ունենա հնարավոր ամենամեծ երկարությունը։

9. Որտե՞ղ է գտնվում այն կետը, որի հեռավորությունը շրջանագծի կենտրոնից հավասար է շրջանագծի շառավղին։

11. GEOGEBRA ծրագրով գծել շրջանագիծ, տանել նրա շառավիղը, լարը, տրամագիծը:

12.GEOGEBRA ծրագրով գծել շրջան:

13․ Թվարկել   շրջանագծի բոլոր  տրամագծերը,   շառավիղները և  լարերը:

14․Թվարկել ստացված աղեղները:

15. AB և CD հատվածները շրջանագծի տրամագծեր են: Ապացուցել, որ ա) BD և AC լարերը հավասար են, բ) AD և BC լարերը հավասար են:

Պարապմունք 24

Թեմա՝ Եռանկյունների հավասարության երրորդ հայտանիշը։

Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:

MN=PR, KN=TR, MK=PT ուրեմն՝ ΔMNK = ΔPRT

Երրորդ հայտանիշը եռանկյունը դարձնում է շատ կայուն և ուժեղ պատկեր: Այդ պատճառով եռանկյունը երբեմն անվանում են կոշտ պատկեր։ Պատկերացնենք երկու փայտաձող, որոնց մեկական ծայրերը մեխով ամրացված են իրար։ Այդպիսի կառուցվածքը կոշտ չէ․փայտաձողերի ազատ ծաիրերը մոտեցնելով կամ իրարից հեռացնելով՝ մենք կարող ենք դրանց կազմած անկյունը փոխել։ Իսկ եթե մեկ փայտաձող ամրացնենք նախորդ փայտաձողերի ազատ ծայրերին․ ապա կստանանք եռանկյուն, որը կլինի կոշտ։ Հնարավոր չէ նրա որևէ երկու կողմերը մոտեցնել կամ իրարից հեռացնել, այսինքն ՝ անհնար է փոխել նրա անկյունը։ Այդ պատճառով տարբեր հենարաններ և ամրություններ պատրաստում են եռանկյունաձև:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Գրել եռանկյունների հավասարության երրորդ հայտանիշը։

2․Բերված եռանկյունները հավասար են ըստ՝ ․․․․․․․․․․

3․Ապացուցել, որ ΔEPF= ΔEDK

4.Տրված է DCBA ուղղանկյունը: Ըստ եռանկյունների հավասարության երրորդ հայտանիշի, հավասար են արդյո՞ք  AOD և AOB եռանկյունները:

5.Օգտագործելով նկարում բերված տեղեկությունները` գտիր∡LKN անկյան մեծությունը, եթե ∡LKM=42°-ի:

ա) Որոշիր հավասար եռանկյունները՝

բ) Գտիր ∡LKM անկյանը համապատասխանաբար հավասար անկյունը՝

գ) Գտիր ∡LKN

6․Տրված է, որ VT⊥TU,UT=TS։ Գտի՛ր հավասար եռանկյունները:

7․Տրված է O կենտրոնով և OD շառավիղով շրջանագիծ: Արդյո՞ք եռանկյունները հավասար են՝ BOC=AOD: Եթե հավասար են, ապա եռանկյունների հավասարության ո՞ր հայտանիշի համաձայն:

Պարապմունք 23

Дата: 29 ноября 2023Автор: Inna Israelyan0 Комментарии

Թեմա՝ Եռանկյունների հավասարության երկրորդ հայտանիշը։

Եթե մի եռանկյան կողմն ու նրան առընթեր երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան կողմին և նրան առընթեր երկու անկյուններին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:

AC=DF, ∠A=∠ D, ∠C=∠ F

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Գրել եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշը։

Եթե եռանկյան երկու կողմերը և նրանց կազմած անկյունը համապատասխան են, ապա եռանկյունները հավասար են։

2․Գրել եռանկյունների հավասարության երկրորդ հայտանիշը։

Եթե մի եռանկյան կողմն ու նրան առընթեր երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան կողմին և նրան առընթեր երկու անկյուններին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:

AC=DF, ∠A=∠ D, ∠C=∠ F

3․ ABC և MNK եռանկուններում AB=MN, ∠BAC=∠NMK, ∠ABC=∠MNK: Հավասա՞ր են ABC և MNK եռանկունները։4

Այո

4. ABC եռանկյունում AB=8, ∠A=40⁰, ∠B=84⁰, իսկ MNK եռանկյունում MN=8, ∠M=40⁰, ∠K=84⁰։ Տեղի ունե՞ն եռանկյունների հավասարության երկրորդ հայտանիշի պայմանները։

Ոչ

5․Նկարում ∠BAC=∠ACD, ∠BCA=∠CAD: Հավասա՞ր են արդյոք ABC և ADC
եռանկյունները:

Այո

6․AB և CD հատվածները հատվում են AB հատվածի O միջնակետում, ∠OAD=∠OBC:

ա) Ապացուցեք, որ ΔCBO = ΔDAO։

AO=OB

Եռանկյունների հավասարության երկրորդ հայտանիշի համաձայն, ΔCBO և ΔDAO հավասար են

բ) Գտեք BC-ն և CO-ն, եթե CD=24 սմ, AD=17սմ։

CO = OD = CD/2 = 24/2 = 12սմ
BC = AD = 17սմ

7․Տրված է ∠1 = ∠2, ∠ 3 = ∠4:

ա) Ապացուցեք, որ ΔABC = ΔCDA:

AC~
∠1 = ∠2
∠ 3 = ∠4
Եռանկյունների հավասարության երկրորդ հայտանիշի համաձայն, ΔABC և ΔCDA հավասար են

բ)Գտեք AB-ն և BC-ն, եթե AD=19 սմ, CD=11 սմ:

AB = CD = 11 սմ
BC = AD = 19 սմ

8․Ըստ նկարի տվյալների՝ ապացուցեք, որ OP=OT, ∠P = ∠T

CO=OB
Եռանկյունների հավասարության երկրորդ հայտանիշի համաձայն, ΔTOC և ΔPOB հավասար են

Այստեղից հետևում է

OP=OT
∠P = ∠T

9․ Ապացուցել, որ հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված միջնագիծը նաև կիսորդ է և ու բարձրություն։

AB=BC
AD=DC
BD~

Այստեղից հետևում է
ΔABD = ΔDBC
Այստեղից հետևում է
Այստեղից հետևում է
BD կիսորդ է

Քանի որ ΔABD = ΔDBC
Այստեղից հետևում է
^o
Այստեղից հետևում է
BD բարձրություն

Պարապմունք 22

1. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են:

2. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված կիսորդը նաև միջնագիծ է և բարձրություն:

3. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված միջնագիծը նաև կիսորդը է և բարձրություն:

4. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը նաև կիսորդ է և միջնագիծ:

5․Եթե եռանկյան երկու անկյունները հավասար են , ապա եռանկյունը հավասարասրուն է։

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Ո՞ր եռանկյունն է կոչվում  հավասարասրուն։

Եթե եռանկյան երկու անկյունները հավասար են , ապա եռանկյունը հավասարասրուն է։

2․ Ինչպե՞ս են կոչվում հավասարասրուն եռանկյան կողմերը։

3․ GEOGEBRA ծրագրով գծիր  հավասարասրուն եռանկյուն։

4․Ո՞ր եռանկյունն է կոչվում  հավասարակողմ։

Եթե եռանկյան բոլոր երեք կողմերը հավասար են, ապա եռանկյունը կոչվում է հավասարակողմ:

5․ GEOGEBRA ծրագրով գծիր  հավասարակողմ եռանկյուն։

6․GEOGEBRA ծրագրով գծիր  հավասարասրուն եռանկյուն և տանել նրա միջնագիծը։

7․ Թվարկել հավասարասրուն եռանկյանը բնորոշ հատկությունները։

Հավասարասրուն եռանկյունն ունի որոշ հատկություններ, որոնք այլ եռանկյուններ չունեն:

8․Լուծել խնդիրը

Այո

9․Լուծել խնդիրը․

10․Լուծել խնդիրը․

11

11․ Լուծել խնդիրը․

5

12․ Լուծել խնդիրը․

20

13․Լուծել խնդիրը․

20; 20; 10

14․Լուծել խնդիրը․

12; 12; 21